通常，給定工況下*水泵葉輪的設計和選擇是比較困難的，意大利Industrie Saleri Italo公司的水泵專家Massimo Antonini在本文描述了一種數學建模方法，使葉輪的設計和選擇實現了自動化。 {TodayHot}
         
        葉輪是水泵的核心部件，是工作效率的主要影響素。在特定工況下，如果葉輪設計不好就會在泵入口和葉片處產生水力損失和間隙損失。
        
        許多一維模型都可以對這類損失進行估算；zui的模型包括Pfleiderer et al.1、Japikse et al.2, 3、Tuzson4, 5、 Stepanoff 6和 Neumann7。還有許多研究8-12或多或少地在上述模型的基礎上提出了一些水泵設計的程序。 {HotTag}
         
        這些模型的主要局限在于它們的模擬性：優化過程不能從這些模型著手進行。計算流體力學（CFD：computational fluid dynamics）模擬技術解決了這一難題。這一技術可通過Navier Stokes偏微分方程算法對流量分布進行計算。優化過程仍是一個關鍵程序，很難使其自動化。設計者通常先要進行嘗試和測試，然后根據結果修正幾何尺寸以改進流量分布，并重復試驗。這一迭代過程反復進行，直到設計者認為第i步的結果是理想的（與設計者自身經驗有關）。
         
圖1：數據點分布格柵圖

        有些研究13還建議，每一個幾何參數的作用分析應建立在多變量分析（主成分分析）的基礎上。作者使用不同的幾何參數重復進行計算流體力學模擬（CFD），并研究了每一個因素的影響。這些研究使設計者只需分析少量的幾何參數，減小了手動優化過程的規模，從而縮短了優化時間（迭代次數）。
        
        zui近幾年，該程序有了很大改進，這要歸功于多目標優化軟件的開發。該軟件使用了遺傳算法和爬山法、并行結構和帕累托（Pareto）邊界等理論，使一般的CFD軟件（一般是設計工具）可以自動運行。優化者利用CFD軟件，可以逐步改進葉輪的幾何尺寸直到獲得*化的幾何結構14, 15。
        
        近些年，基于不同理念的一些新優化方法得以開發； Zangeneh16-18是其中的典型代表。這一方法與以前不同，或者更確切地說是“逆向的”：先葉片載荷，然后使用3D逆向設計法計算出相應的葉片幾何尺寸。優化者可以修改決定葉片載荷的一些參數，因此優化過程比以前更容易。
        
        手動和自動優化過程都存在很多困難。觀察結果表明，記錄優化過程中出現的新知識是必要的。對水泵設計者來說，如果優化過程是一項日常工作，這一問題就尤為重要。大部分設計優良的葉輪可以重新使用。因此問題是：如何在使用過程中進行優化設計呢？
        
        主要方法是利用水泵的實驗曲線。這些曲線代表了特定轉速下壓力-流速之間的關系（如圖2b）。這組曲線在壓力-流速-轉速組成的三維空間中是一個曲面。該曲面必須與客戶所要求的特定流速、壓頭和轉速相比較。
         
 

        曲面的數學擬合
        
        如果我們想使選擇過程自動化，就有必要使用數學模型對曲面進行擬合。這組流速-轉速-壓力點需用函數p = f（Q, n）來建模。
        
        對曲面分布數據點進行擬合的數學方法有很多種；神經網絡19，nurbs（非均勻有理B樣條）和B樣條擬合法20只是其中的一部分。我們選擇了zui近提到的一種方法的修正版，因為曲面易于復制，且演算非常快。
        
        該方法以Lee et al.21提出的多級B樣條擬合（MBA）算法為基礎；利用其控制網格Φ（見圖1）定義的均勻B樣條三次函數對曲面進行擬合。詳細數學過程見方框1。
        
        該演算法的第二個特性是多級性。給定網格，就可以對擬合函數進行計算。擬合函數在點xc, yc（流速和轉速）會返回一個誤差。然后我們使用第二個更精密的網格（第二級），它可以對前面的誤差、以及期望輸出值與前面定義的函數得到的估算值之間的差值進行擬合。函數模型由兩次擬合值建成。隨著擬合級數的增加，邊際誤差減少，不過同樣擬合函數的復雜性也增加了。
        
        上述方法的軟件執行結果如圖2所示。
        
        必須強調的是，通過改變起始網格的尺寸（m x n）和級數，我們得到了不同的結果。圖3特別顯示了平均方差隨級數的變化過程和由該演算法所獲得的zui終曲線。
        
        該算法效率特別高，因為它可以很快輸出期望的結果：使用大約40個分布點，m=n=3的網格和六級演算，不到1秒鐘就可以對曲面進行*地模擬。該方法的第二個優點是擬合誤差非常低。如點的平均誤差，以壓力為例，低于10-5 bar。
        
        選擇過程
        
        曲面建模完成后，選擇zui合適的水泵就非常容易了。用戶給出所需的工況點；特別是流速和轉速值是使用多級B樣條擬合（MBA）算法對泵進行第i步數學建模的輸入值。輸出值（壓力）由數學函數計算并同期望壓力值作比較；如果兩者之間的差值在泵的特定界限之內，泵就被選定。如果情況相反，選擇過程就需改進：對轉速和流速的鄰近值進行檢驗，軟件自動判別壓力是否處于某個范圍之內。選擇過程zui終會以列表的方式對可能適用的水泵葉輪給出一個明確的結果（見圖4）。
        
        結論：水泵葉輪設計過程中的困難決定了需要重新利用過去那些項目中所獲得的知識。也就是說，有必要使用以前所設計的葉輪的性能曲線，選擇新泵也需從這些葉輪的曲面著手；因此有必要進行數學建模以使選擇標準自動化。選擇過程完成后，設計者既可以選擇所推薦的葉輪（工作到此完成），也可以對選擇軟件所推薦的葉輪幾何尺寸進行手動或自動地修改和優化。優化過程會很快，因為起始的幾何尺寸已非常接近期望值，所以只需幾步迭代即可完成 .